卷积是什么？

离散域

离散域的要简单得多，所以我先讲离散域的。
下文中的$*$表示卷积，而不是乘法。

卷积这名字听着就是高大上，但却是个非常简单实用的概念。
通常意义下，卷积描述的下面这种运算：
$$y[n]=\sum_{a+b=n} x_1[a]x_2[b]$$
其中$x_1$和$x_2$是两个序列，$y$是卷积出来的序列。

是不是发现上面这个公式简单粗暴，比信号书上好看的多，当然信号书上会给你这么一个公式：
$$y[n]=\sum_{a=-\infty}^{a=+\infty} x_1[a]x_2[n-a]$$
你会发现这两个公式说的是同一个东西，但是，却会给出不同的计算卷积的方法。
信号书会告诉你卷积计算要分以下三步：

翻转
平移
求和

但是卷积算法的初衷真的是这样的吗？笔者所理解的卷积是两个影响因子互相叠加的过程。

第一个例子

现在你有两堆棍子，每根棍子的长度可能相同，可能不同，现在问，我分别从这两堆中拿一根棍子出来，连接出长度为n的棍子的方法有多少种

通过处理我们可以得到这样两个序列：
$x_1[a]$表示第一堆中长度为$a$的棍子的个数。
$x_2[b]$表示第二堆中长度为$b$的棍子的个数。
用$y[n]$表示组合出来长度为$n$的方案数。
那么怎么求$y[n]$？显然，我们知道：$y[n]=\sum_{a+b=n} x_1[a]x_2[b]$。
这个过程就是离散域卷积。换句话说$y=x_1*x_2$。
反观这个例子，我们发现$y[n]$是$x_1$和$x_2$中合适的项不断贡献的结果。

第二个例子

乘法

乘法？想必大家都是会的，但是大家有想过竖式乘法到底是个怎样的过程吗？没错，这就是个非常典型的卷积过程。
我们还是从贡献的角度来谈，在纸上画画若干位乘以若干位的过程，就会发现如果不考虑加法进位，那么最后加法的过程其实就是将合适的项的贡献值叠加起来。
笔者想这就是卷积的名字的来源吧。

第三个例子

多项式乘以多项式

这和乘法的想法是一样的，每两个项的系数积都被叠加到了其指数和的对应项中。

连续域

离散与连续的联系就在以下两点上

求和与积分
差分和微分

为了便于书写公式，连续域我采用信号书上的写法：
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau$$
这个公式表征凡是两个序列中下标相加为$t$的值都会对卷积结果中的$t$有贡献。

第四个例子

秋千

大家都玩过秋千，现在不考虑复杂的力学，我们假设秋千的摆动幅度仅仅由冲量（就是推的那一下）和时间决定，并且摆动幅度正比于冲量（换句话说就是你用3倍的力量推一下，秋千的摆幅也会是普通力量的3倍）。
现在定义$x(t)$表示在$t$时刻，用$x(t)$的力道推一下。当然既然是连续时间，那么就是一直推，不停的推。
$h(t)$表示用标准的力道在时刻$0$推一下，秋千的摆动幅度随时间变化规律。
$y(t)$表示在$t$时刻秋千的摆动幅度。
想象一下$y(t)$是由哪些东西贡献出来的：

如果我在时刻2用3的力道推了一下秋千，$x(2)=3$
这时产生一个独立于其他推的影响，$x(2)h(t-2)$
这个影响会影响整个时间域
每个时刻的推都会产生这种影响

通过上述的思考过程，我们就能得到$$y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau$$

计算方法

对于计算机来说，没有连续的概念，计算都是针对离散的。当然可以暴力计算，不过复杂度是$O(n^2)$的。对于卷积来说，我们可以使用快速傅里叶算法来计算，复杂度是O(nlogn)，这个留到以后再讲。

未涉及的内容

循环卷积
我也不知道