数字图像处理（1） 直方图均衡化

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什么是直方图均衡化？

为方便起见，本文前面讨论的都是黑白图像（灰度图），后面会特别提及彩色图像。

我们知道，一幅图像的灰度值可以看成一个随机变量，不妨设现在图片的灰度值是$r$，直方图均衡化后的灰度值是$s$。
$r$的概率密度函数（PDF）可能是这样一个乱七八糟的样子：

这样的概率密度是我们不希望看到的，我们希望整个图像能够均匀的占据灰度的整个区间：

这便是直方图均衡化。

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数学推理？

连续空间

对于一个转换来说，我们总是可以把他写成一个函数的形式$s=T(r)$，表示将灰度为$r$的地方都变成$T(r)$。
现在假设$T(r)$是个单调的函数，那么根据概率论的只是我们能够得到这样的变换关系：
$$p_s(s)=p_r(r)*{\left | \frac{dr}{ds} \right |}$$

对上式分离变量积分有：

$$s=T(r)=(L-1)\int_{0}^{r} p_r(w)dw$$

这就是直方图均衡化连续空间域的转换函数。

离散空间

当然一张图片不可能是连续的，所以我们要在离散空间上找寻方法来实现上述功能。

积分就是求和
微分就是差分

使用上面两个策略，我们就能获得离散时间的方法：
概率密度$p(r_k)=\frac{n_k}{MN}$，其中$n_k$表示第$k$级的灰度的个数。
那么变换函数就是：
$$s_k
=T(r_k)
=(L-1)
\sum_{j=0}^{k}
p(r_j)=
\frac{(L-1)}{MN}
\sum_{j=0}^{k}
n_j$$

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效果和代码？

说了这么多小伙伴们一定迫不及待想看效果了吧。

代码：

I=imread('tree.png');%读取一个图片
J=histeq(I);%matlab自带函数，可以实现上述的变换
figure,imshow(I);%显示原本图片
figure,imshow(J);%显示转换后的图片

效果：

转换之前的：

转换之后的：

很明显可以看出图像的对比度增强了。

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彩色图片

我们日常的图片当然不是黑白的，那么彩色图片又该如何处理呢？
想必很多小伙伴都知道彩色图片是由RGB三个分量组成的，所以，我们只需要每个分量分别处理即可。

代码：

I=imread('BadRoad.png');%读取图片
r=I(:,:,1);%分离分量
g=I(:,:,2);
b=I(:,:,3);
J=cat(3,histeq(r),histeq(g),histeq(b));%转换并且合并
figure,imshow(I);
figure,imshow(J);

效果：

这效果好到我自己都怕。。。
转换之前：

转换之后：

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未谈及：

直方图规定化
局部直方图均衡化

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