傅里叶变换

感谢傅里叶同学做出的杰出贡献

什么是傅里叶变换

这个名字很像中国人的傅里叶同学其实是法国人(好吧,这不是重点)。从数学上来讲,傅里叶变换是将函数(并不是所有的函数)转换成一系列正弦函数的和;从物理上来讲,傅里叶变换是将时间域上的信号转换到频率域上。
这样说其实是很难懂的,接下来笔者尽全力浅显易懂的讲解傅里叶变换,有什么不懂得请评论区留言。


一些你必须知道的知识

微积分

最简单的就好,这个你都不会,那笔者真的没有办法了。。( ▼-▼ )

复数

想必很多同学高中的时候都是学过什么是复数的,但是大家真的理解什么是虚数$i$吗?其实它不仅仅是$\sqrt {-1}$这么简单,我们可以这么理解它:实数乘以$-1$是乘了两次$i$,你可能说这不是废话吗?这确实是废话,但放到数轴上来看,乘以$-1$对应的就是翻转$180^{\circ}$,所以乘以$i$就是旋转$90^{\circ}$,这样就能引入复平面的概念。

欧拉公式

世界上最美的公式,没有之一,完爆$E=mc^2$几条街。
$$e^{ix}=cos(x)+isin(x)$$
为啥说这个公式美呢?如果你在看到他的时候还没发现他美在哪里的话,说明你这辈子和数学家无缘了。至于这个公式的证明可以参考维基

单位脉冲函数

又叫做狄拉克$\delta$函数,这是个非常神奇的函数,它在原点处的值为无穷,在其它地方的值为$0$:
$$\delta (x)=\begin{cases}
+\infty & \text{ if } x=0 \\
0 & \text{ others }
\end{cases}$$
但是它的面积只是1:
$$\int_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)dx=1$$
一般把这个函数画作一个在原点的箭头:


时域和频域

时域

什么是时域呢?时域的概念其实就是我们接触到的这个世界的表象,一切事物都在随着时间变化,八音盒随着时间歌唱,树木随着时间生长,地球随着时间旋转,我们也随着时间慢慢变老-_-
这一切的事物都可以用信号来描述,不过都是些复杂的信号而已。这就叫做时域的信号。

频域

大家都是听过交响乐的,整个演奏是时域上的,而那些乐器就是频域。简单说,频域就是信号分解成若干频率的正弦波的叠加。借知乎大神的话讲,我们看到的落英缤纷,其实是上帝早已谱好的乐章。没错,从频域上来讲,这个世界所有的信号都是早已注定。


傅里叶级数

在了解傅里叶变换之前,首先要知道傅里叶级数。
傅里叶同学指出,任何周期函数都可以表示成若干正弦余弦的加权和,对,任何周期函数都可以。
举个例子(图片来自维基):

函数 $s(x)$ (红色)是六个不同幅度的谐波关系的正弦函数的和。它们的和叫做傅里叶级数。傅里叶变换 $S(f)$ (蓝色),针对幅度与频率进行描绘,显示出6种频率和它们的幅度。

数学形式

可能会很难懂,请多多自己推导一下~
若现在有一以T为周期的周期函数$f(t)=f(t+T)$,我们尝试把这个周期函数写成若干正弦和余弦的加权和:
$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i\frac{2\pi n}{T}t}$$
为什么要写成这么一个奇怪的形式呢?让我们一部分一部分的来解释,后面那堆指数$e^{i\frac{2\pi n}{T}t}$由前面的欧拉函数可以知道它可以写成余弦和正弦的和,只是为了方便计算,写成指数函数的形式,指数项是为了表明和周期的关系才写成$i\frac{2\pi n}{T}t$
$c_n$项便是加权系数,其中$n$代表的是第$n$个谐波。整个求和式表示将无数个加权正弦余弦波合在一起就是原周期函数了。
那么问题就变成了怎么求$c_n$
令$w_0=\frac{2\pi}{T}$,将式子两边同时乘上$e^{-ikw_0t}$,那么得到:
$$f(t)e^{-ikw_0t}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inw_0t}e^{-ikw_0t}$$

$$f(t)e^{-ikw_0t}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i(n-k)w_0t}$$
我们尝试着求右侧的和式求解出来,由欧拉公式:
$$e^{i(n-k)w_0t}=cos[(n-k)w_0t]+isin[(n-k)w_0t]$$
注意到三角函数都是周期的,且$n-k$是个整数,那么$T$一定是上方式子周期的整数倍,所以我们在一个$T$的区间内求个积分,即可消除三角函数的影响。
得到
$$\int_0^Te^{i(n-k)w_0t}dt=\begin{cases}
T & \text{ if } n=k \\
0 & \text{ others }
\end{cases}$$
然后我们就能求出
$$c_n=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-ikw_0t}dt$$
综上我们就能将任意的周期函数变换为三角函数的和。


傅里叶变换

从数学上来讲,傅里叶变换是傅里叶级数的扩展,从信号的角度上来讲,傅里叶变换是时域和频域的相互转换。

数学形式

从上面的式子我们可以看出傅里叶级数仅和周期$T$有关,那么假如周期是无限大,即一般的函数。那么现在我们把$T$取到无穷,即可得到傅里叶变换:
$$F(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iwt}dt$$
$$f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}F(w)e^{iwt}dw$$
从上面的式子中可以看出,要进行这样变换,函数必须是绝对可积的。

信号方面

上面的两个式子将时间域的信号分解为很多不同频率的信号的加权和,权值就是$F(w)$,而通过这些频率上的信息又能恢复原来的信号。